Le calibrage consiste à déterminer les propriétés, appelées paramètres internes, d'un capteur d'images, typiquement un appareil photographique ou une caméra numériques. Les paramètres internes de la caméra sont au nombre de cinq et le plus important est la distance focale. Le calibrage s'effectue généralement avec une mire, plane ou tridimensionnelle. Le calibrage est un problème qui a fait l'objet de nombreuses études et pour lequel des solutions ont été apportées, mais l'emploi de mires est contraignant, par exemple lorsque la distance focale peut varier entre deux acquisitions. Il est alors plus intéressant d'autocalibrer, c'est-à-dire de calibrer sans mire, uniquement avec les informations contenues dans les images de la scène acquise. Les problèmes d'autocalibrage plan, dans le cas d'une scène plane, et d'autocalibrage 3D, dans le cas d'une scène 3D, sont des problèmes non linéaires, difficiles à résoudre. L'autocalibrage est une phase essentielle de nombreuses applications de vision (reconstruction 3D, réalité augmentée, métrologie, etc.) car elle permet de retrouver certaines propriétés de la scène (parallélisme, angles, rapports de longueurs, etc.) nécessaires dans ces applications. Or, il est possible de "rater son autocalibrage", c'est-à-dire d'obtenir des résultats erronés ou pas de résultat du tout. En effet, des difficultés surgissent à deux niveaux.

Premièrement, le choix de la modélisation mathématique introduit des mouvements critiques de la caméra pour lesquels l'autocalibrage est impossible. Il est donc important de connaître ces mouvements et nous les avons étudiés pour l'autocalibrage 3D sous certaines hypothèses.

Deuxièmement, la résolution du problème passe par l'utilisation de méthodes locales d'optimisation qui ne parviennent généralement pas à trouver le minimum global de la fonction de coût à minimiser, à cause de la haute non linéarité du problème.

Nous avons alors adapté le problème afin de pouvoir utiliser l'optimisation globale par intervalles, une méthode qui garantit l'obtention de ce minimum global. Cette méthode utilise l'analyse d'intervalle, une arithmétique dans laquelle les réels sont remplacés par des intervalles. La contrepartie est une explosion du temps de calcul. Il est donc important de porter l'attention sur le passage en intervalles de la fonction de coût, c'est-à-dire de pouvoir déterminer de bons encadrements de cette fonction.

Les applications possibles sont toutes celles où l'autocalibrage intervient. Nous avons illustré nos travaux avec des mosaïques rectifiées (autocalibrage plan) et des reconstructions 3D de bâtiments (autocalibrage 3D). Les paramètres internes dans ces cas sont des solutions garanties, obtenues en moins d'une minute.

This work deals with computer vision and more precisely camera self-calibration. Self-calibration is an important step involved in numerous applications such as tridimensional reconstruction or metrology. By Self-calibration, we mean estimation of the camera model parameters, from a sequence of images and without a priori knowledge. Self-calibration methods have been widely used these last years since they allow calibration without a calibration target and since they can handle focal length variations.

In this context, we have focused on plane-based self-calibration and 3D self- calibration. Our main contributions are concerned with the geometric modelisation of these problems and their mathematical resolution.

The first main part of our work deals with geometric modelisation of self- calibration. In the plane-based case, we have revealed an inter-dependence in the model usally used and proposed by Triggs in 1998. In the light of this, we have proposed a minimal parameterization of the problem in which the number of unknowns is reduced. In the 3D case, we provide a thorough study of the critical motion sequences, i.e. camera motions for which self-calibration is ambiguous, in the constant focal length case. Although Sturm and Kahl have given a complete classification of the critical motion sequences in the variable focal length case, this special case has not been studied yet.

Secondly, we have investigated the resolution part of the self-calibration problems. These problems usually lead to an algebraic equations system which is solved by minimizing a cost function. Local minimization methods are generally used. They need a good initial solution and they do not provide any guaranty on the found optimum (many local minima are present, due to the non linearity of the cost function). The calibration step is a crucial step and affects the other steps such as reconstruction. Though, we have tried to obtain guaranties on the solutions. To do this, we have looked at the Interval Analysis which is an arithmetic of intervals instead of the classical arithmetic of reals. Interval Analysis can bound a cost function by interchanging real variables and interval variables. Combining Interval Analysis and so-called Branch and Bound methods gives a global optimization method which assures to obtain the global minimum of a cost function, if it exists. However the use of this method is not straightforward. Interval Analysis has indeed unusual arithmetic properties (such as multiplication sub-distributivity). If we directly transform the cost function into an interval cost function, then the computation time to obtain the global minimum is too high for pratical uses. We have transform the self- calibration equations, by applying symbolic factorizations for instance. Thus we have obtained guaranteed solutions on real image sequences in less than a minute.